Прямі методи розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Реферат з курсу "Введення в чисельні методи"
Тема: "ПРЯМІ МЕТОДИ РІШЕННЯ систему лінійних алгебраїчних рівнянь"

Зміст
1. Метод послідовних наближень
2. Метод Гауса-Зейделя
3. Метод звернення матриці
4. Тріангуляція матриці
5. Метод Халецького
6. Метод квадратного кореня
Література

1. Метод послідовних наближень
Найбільш поширеними методами стосовно до великих систем є ітераційні методи, які використовують розкладання матриці на суму матриць, та ітераційні методи, які використовують факторизації матриці, тобто представлення у вигляді твору матриць.
Проста ітерація: рівняння приводиться до вигляду , Наприклад, наступним чином:
,
де і містять довільну матрицю коефіцієнтів, по можливості бажано близьку до .
Якщо вибрати A = H + Q так, щоб у позитивно певної H легко знаходилася , Тоді вихідна система приводиться до наступного зручному для ітерацій увазі:
.
У цьому випадку, при симетричній матриці A і позитивно певної Q ітераційний процес сходиться при будь-якому початковому .
Якщо взяти H у вигляді діагональної матриці D = , В якій лише на головній діагоналі розташовані ненульові компоненти, то цей окремий випадок називається ітераційним методом Якобі.
2. Метод Гауса-Зейделя
Метод Гауса-Зейделя відрізняється тим, що вихідна матриця представляється сумою трьох матриць:

.
Підстановка в і нескладні еквівалентні перетворення приводять до наступної ітераційної процедури:
.
Розрізняють дві модифікації: одночасну підстановку і послідовну. У першій модифікації чергова підстановка виконується тоді, коли будуть обчислені всі компоненти нового вектора. У другій модифікації чергова підстановка вектора виконується в той момент, коли буде обчислено чергова компонента поточного вектора. У векторно-матричної формі запису послідовна підстановка методу Гауса-Зейделя виглядає так:
.
Друга форма вимагає істотно менше число ітерацій.
3. Метод звернення матриці
Еквівалентні перетворення матриці в твір більш простих, що приводять до рішення або полегшують його отримання, почнемо з розгляду методу звернення матриці. Так як в загальному виді рішення системи представляється через обернену матрицю у вигляді , То припустимо, що
,

тоді, помноживши праворуч рівність на матрицю A, отримаємо
.
Звідси можна зробити висновок, що матриці повинні послідовно зводити матрицю A до одиничною. Якщо перетворюючу матрицю вибрати так, щоб тільки один її стовпець відрізнявся від одиничних векторів-стовпчиків, тобто , То вектор-стовпець можна сформувати таким, щоб при множенні на поточну перетворені матрицю в останній i-тий стовпець перетворився на одиничний . Для цього беруть
і тоді .
Фактично це матричне твір перетворює всі компоненти проміжної матриці за формулами, що застосовуються в методі виключення Гауса. Особливість цього процесу полягає в тому, що діагональні елементи вихідної і всіх проміжних матриць не повинні бути нульовими.
Крім оберненої матриці, що дорівнює добутку всіх T-матриць, тепер можна отримувати і рішення рівнянь для будь-якого вектора у правій частині.

4. Тріангуляція матриці
Розкладання вихідної матриці на твір двох трикутних матриць (тріангуляція матриці) не є однозначною. Відповідно до цього є декілька різних методів, привабливих з тієї чи іншої сторони.
Сам спосіб формування рівнянь або формул для обчислення елементів трикутних матриць у різних методах практично однаковий: це метод невизначених коефіцієнтів.
Відмінності виникають на стадії вибору умов дозволу отриманих рівнянь. Нехай
,
де -
нижня трикутна матриця,
-
верхня трикутна матриця.
Виконуючи перемноження трикутних матриць і прирівнюючи отримувані елементи відповідних елементів вихідної матриці нескладно для k-того рядка і m-того стовпця записати
.
Отримана система складається з рівнянь і містить невідомих коефіцієнтів. За рахунок зайвих n невідомих існує свобода вибору, завдяки якій і є розмаїтість методів розкладання.
5. Метод Халецького
Якщо покласти , То розкладання і подальше рішення системи з двох векторно-матричних рівнянь з трикутними матрицями називається методом Халецького.
Елементи трикутних матриць L і U послідовно будуть обчислюватися за наступними формулами:

Якщо вихідна матриця симетрична, то від трикутних матриць можна вимагати, щоб вони були один до одного транспонований, тобто, наприклад, і так, що . У цьому випадку елементи трикутних матриць знаходяться в співвідношенні і, отже, число невідомих зменшується вдвічі. У результаті елементи трикутної матриці можуть обчислюватися за наступними формулами:


6. Метод квадратного кореня
Використання розкладання на взаємно транспонований трикутні матриці при вирішенні систем алгебраїчних рівнянь називається метод квадратного кореня.
Метод розкладу на транспонований трикутні матриці має модифікацію, яка полягає у виділенні в творі діагональної матриці D з елементами на діагоналі . Таким чином, для вихідної матриці, яка може бути і ермітової (симетричної і комплексно спряженої), розшукується добуток трьох матриць: .
Кожне km-те рівняння, визначається твором k-того вектора-рядка лівої трикутної матриці на діагональну матрицю, помножену на m-тий стовпець правою трикутної матриці, і має вигляд:
.
Для однозначного розкладання, зважаючи на комплексну спряженість симетричних елементів трикутних матриць, в першому рівнянні (i = 1), що має вид , Вважають . У цьому випадку
.
Аналогічно, відокремлюючи знак діагонального елемента діагональної матриці від його модуля, можна отримати формули для обчислення :



Література
1. Хеннер Є. К., Лапчик М. П., Рагуліна М. І. Чисельні методи. Вид-во: "Академія / Academia", 2004. - 384c.
2. Бахвалов І. В. Чисельні методи. БІНОМ, 2008. - 636c.
3. Формалей В. Д., Ревізніков Д. Л. Чисельні методи. Вид-во: Фізматліт ®, 2004. - 400c.